평균의 종류(산술평균, 기하평균, 조화평균)

평균의 종류(산술평균, 기하평균, 조화평균)

(궁금증이 생기게 된 계기)

- 모델의 성능을 평가하는 F1-score는 Precision과 Recall의 조화 평균을 사용하는 것을 보고 어떤 상황에 어떤 평균을 써야하는지에 대한 궁금증이 생김

 

1. 산술평균

     • 일상 생활에서 가장 많이 사용하는 평균

     • 각 요소의 총 합을 갯수로 나눈 것

 

2. 기하평균

     • 각 요소를 곱한후 그 값에 루트를 씌운 값

     • 일반적으로 성장률의 평균 등 상승률과 하락률을 활용한 계산에 유용하게 쓰임

     • 예를 들어 1,000원의 주식이 10% 상승 후 10% 하락 했을 경우 산술적인 개념만 본다면 상승 +10% 하락 -10%로 ±10%이기 때문에 직관적으로 잘못 생각하여 가격 변동이 없다고 착각할 수 있음

     • 하지만, 1,000원이 10% 상승하면 → 1,100원이 되고 1,100원이 10% 하락하면 → 990원이 됩니다

     • 위 내용처럼 1,000원 짜리 주식이 990원이 되는 것을 상승률 10% 와 하락률 10%에 대한 기하 평균을 활용하여 계산해줄 수 있는데요.

     • 수식으로 표현해보면 (1.1 x 0.9)^0.5 = 0.99 → 1,000원 x 0.99원 = 990 라는 결과를 얻을 수 있습니다

3. 조화평균

     • 각 요소의 역수를 산술평균한 후 그 값을 다시 역수로 변환한 것

     • 왕복속력을 계산할때, F1-Score 계산시 주로 사용

     • 예를 들어 두 지점 A, B에 대하여 갈때는 시속 10Km/h, 올때는 시속 20Km/h로 왕복했다면,

       평균속력은 조화평균인 13.33Km/h가 됩니다. 

     • (1/10 + 20/1)^(-1) = 2 x (3/20)^(-1) = 40/3 = 13.33 

4. 산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균

산술 기하 조화 평균의 관계

 

(심화1 : 산술평균 vs 기하평균 vs 조화평균)

     • 각 평균의 종류의 상대적인 크기는 산술평균 > 기하평균 > 조화평균

     • 1~10까지의 평균값은 5.5인데 단순 100이라는 이상치가 끼어들면서 산술평균이 가장 많이 상승함

     • 이는 평균의 대표성을 띄고 있지 못하다고 판단할 수 있음

     • 따라서, 상황에 따라서 적합한 대표성을 띄는 평균을 사용해야할 것이다

산술 vs 기하 vs 조화

(심화2 : 조화평균 및 F1-score의 기하학적 의미)

     • 조화평균의 기하학적 의미

     • 아래 그림에서 서로 다른 길이의 A, B의 끝에서 다른 쪽의 base라인으로 선을 내렸을때, 만나는 점의 길이

     • F1-score의 기하학적 의미

     • 기하학적으로 봤을때 단순 평균이라기보다는 작은 길이 쪽으로 치우치게된, 그러면서 작은 길이 보다도 작은 평균이 도출됨

     • 이렇게 조화평균을 이용하면 산술평균을 이용하는 것보다, 큰 비중이 끼치는 bias가 줄어든다고 볼 수 있음

     • 즉, 아래 그림에서는 Precision보다 큰 길이(=비중)을 차지하는 Recall이 끼치는 bias가 줄어든 값으로 F1-score를 얻게됨

 

 

Reference

https://www.sysfund.com/191

https://sumniya.tistory.com/26