1장 통계분석_이산확률분포와 연속확률분포

1. 이산확률분포

- 정의 : 확률변수가 가질 수 있는 값이 명확하고 셀 수 있는 경우의 분포

- 확률값 표현 : 확률질량함수(PMF : probability mass function)

- 종류

① 베르누이 확률분포

    : 결과가 2개만 나오는 경우

 ex) 동전던지기, 합격/불합격

② 이항분포

    : 베르누이 시행을 n번 반복했을 때 k번 성공할 확률

 ※ 이항분포의 가정

    ⓐ n의 값은 미리 정해져 있다

    ⓑ 매 번의 시행은 상호 독립

    ⓒ p는 매 시행마다 동일하다.

③ 기하분포

    : 성공확률이 p인 베르누이 시행에서 첫번째 성공이 있기까지 x번 실패할 확률

 ex) A라는 야구선수가 5번 타석에 들어와서 3번째 타석에서 안타 칠 확률 → 기하분포를 따름

 ※ 성공확률 p는 일정

     if 성공확률 p가 일정하지 않다면, 초기하분포

④ ※초기하분포※

    : 사건이 서로 독립적이지 않고 종속적(예를 들어 비복원 추출)이어서 성공률이 매회 일정하지 않은 경우 사용

⑤ 다항분포

    : 이항분포를 확장한 것으로 세가지 이상의 결과를 가지는 반복 시행에서 발생하는 확률 분포

⑥ 포아송분포

    : 시간과 공간 내에서 발생하는 사건의 발생횟수에 대한 확률분포

λ = 정해진 시간 안에 어떤 사건이 일어날 횟수에 대한 기댓값 = 단위 시간당 발생할 평균값

 ex) 5경기에서 10홈런 → 1경기에 2홈런 → λ = 2

n = 사건이 일어난 수

 ex) 5경기에서 10홈런 쳤을때, 오늘 경기에서 홈런을 2개칠 확률은? → n = 2

2. 연속확률분포

- 정의 : 확률변수가 가질 수 있는 값이 연속적인 실수여서 셀 수 없는 경우의 분포

- 확률값 표현 : 확률밀도함수(PDF: probability density function)

- 종류

① 균일분포

    : 모든 확률변수 X가 균일한 확률을 가지는 확률분포

② 정규분포

    : 평균이 μ, 표준편차가 σ인 X의 확률밀도함수

    : 표준편차가 클 경우 퍼져보이는 그래프가 나타난다

③ 지수분포(→이산확률분포의 포아송분포의 연속형 버전같음)

    : 어떤 사건이 발생할 때 까지  경과한 시간에 대한 연속확률분포

 ex) 전제제품의 수명시간, 전화가 걸려올 때 까지의 시간, 고객이 방문하는데 걸리는 시간

④ t-분포 (유사 정규분포 형태 / 표본(=자유도) 30이상일 때 표준정규분포와 거의 동일)

    : 표준정규분포와 같이 평균이 0을 중심으로 좌우가 동일한 분포

    : 표본의 크기가 적을때는 표준정규분포를 위에서 눌러 놓은 것과 같은 형태를 보임

    : ★두 집단 간의 평균이 동일한지 알고자 할 때 검정 통계량을 활용★

⑤ χ2-분포

    : 모평균과 모분산이 알려지지 않은 모집단의 모분산에 대한 가설 검정에 사용되는 분포

    : 두 집단 간의 동질성 검정에 활용(범주형 자료에 대해 얻어진 관측값과 기대값의 차이를 보는 적합성 검정에 활용)

    : 분할표를 그려서 분석 잘함

    : 자유도 = (r-1)(c-1) = (분할표 행 갯수 - 1)(분할표 열 갯수 - 1)

⑥ F-분포

    : 두 집단 간의 분산의 동일성 검정에 사용되는 검정 통계량의 분포

    : 확률변수는 항상 양의 값만을 갖고 χ2분포와 달리 자유도를 2개 가지고 있으며 자유도가 커질수록 정규분포에 가까워진다.